[工科概率论] 正态分布

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[工科概率论] 正态分布

2025-11-23

概率论

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数学

正态分布定义#

X \sim N(\mu, \sigma^2)

\large f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{\large -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}

其中， $\mu$ 为均值， $\sigma^2$ 为方差

标准正态分布#

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)

求解正态分布概率时，需要转换为标准正态分布后才能查表

标准正态分布的分布函数#

\Phi(z) = P(Z \le z)

性质：

\begin{aligned} \Phi(-z) &= 1 - \Phi(z) \\ P(-z \le Z \le z) &= 2\Phi(z) - 1 \end{aligned}

正态分布概率计算#

设

X \sim N(\mu, \sigma^2)

则

P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)

上侧 $\alpha$ 分位数#

设 $X \sim N(0, 1)$ ，对给定的 $0 < \alpha < 1$ ，若数 $u_{\alpha}$ 满足条件：

P(Z > u_{\alpha}) = \alpha

或者说

\Phi(u_{\alpha}) = 1 - \alpha

则称 $u_{\alpha}$ 为标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数

正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量#

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，则对于任意常数 $a$ 和 $b$ ，有

Y = aX + b \sim N(a\mu + b, a^2 \sigma^2)

其实就是均值和方差的性质，因为正态分布的参数就是均值和方差，所以也有这个性质

[工科概率论] 正态分布

https://alkaid114.github.io/posts/probability_theory/normal_distribution/

作者

Alkaid114

发布于

2025-11-23

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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正态分布定义#

标准正态分布#

标准正态分布的分布函数#

正态分布概率计算#

上侧α\alphaα分位数#

正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量#

上侧 $\alpha$ 分位数#