[工科概率论] 条件概率与独立性

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[工科概率论] 条件概率与独立性

2025-10-14

概率论

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数学

条件概率#

设事件 $A$ 和 $B$ 是样本空间 $S$ 中的两个事件，且 $P(B)>0$ ，则在事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率称为条件概率，记为 $P(A|B)$

常用公式#

P(A|B) = \frac{P(A B)}{P(B)} \quad P(B) > 0

乘法定理#

P(A B) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A)

推广到 $n$ 个事件

P(A_1 A_2 \cdots A_n) = P(A_1) P(A_2|A_1) P(A_3|A_1 A_2) \cdots P(A_n|A_1 A_2 \cdots A_{n-1})

全概率公式#

设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是互不相容的事件，若对任一事件 $B$ ，都有 $B \subset A_1 + A_2 + \cdots + A_n$ ，则

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) P(B|A_i)

贝叶斯公式#

其实就是上述三个公式的结合，所以也不用特意背下来套公式，我认为更好的方法是灵活组合上面的三个

设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是互不相容的事件，若对任一事件 $B$ ，都有 $B \subset A_1 + A_2 + \cdots + A_n$ ，且 $P(B)>0$ ，则

P(A_i|B) = \frac{P(A_i) P(B|A_i)}{\sum\limits_{j=1}^{n} P(A_j) P(B|A_j)}

独立性#

独立的定义#

两事件 $A$ 和 $B$ 为任意事件，若

P(A B) = P(A) P(B)

则称事件 $A$ 和 $B$ 是相互独立的

独立的性质#

$A$ 和 $B$ 独立

条件不影响概率

P(B|A) = P(B|\bar{A}) = P(B)

多个事件的独立性#

事件 $A,B,C$ ，如果有

\begin{aligned} P(A B) = P(A) P(B) \\ P(A C) = P(A) P(C) \\ P(B C) = P(B) P(C) \end{aligned}

则称事件 $A,B,C$ 是两两独立的

若再同时满足

P(A B C) = P(A) P(B) P(C)

则称事件 $A,B,C$ 是相互独立的

[工科概率论] 条件概率与独立性

https://alkaid114.github.io/posts/probability_theory/conditional_independent/

作者

Alkaid114

发布于

2025-10-14

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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