[计算机视觉] 霍夫变换

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[计算机视觉] 霍夫变换

2026-06-06

计算机视觉

霍夫变换是一种「投票」方法，记录每条可能线上每个边缘点的投票，寻找投票数最多的线段，用于实现线段检测、圆形检测等

对线的参数化#

常见的直线表示方式：

\begin{aligned} y = kx + b \quad \text{(斜率-截距形式)} \\ Ax + By + C = 0 \quad \text{(一般式)} \\ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \quad \text{(截距式)} \end{aligned}

但它们都存在问题：

斜率-截距形式在垂直线时斜率趋于无穷大，无法表示垂直线
一般式存在无穷多解，无法唯一确定一条线
截距式在垂直线时截距趋于无穷大，无法表示垂直线

所以霍夫变换使用极坐标形式(法线式)：

x \cos\theta + y \sin\theta = \rho

参数空间#

霍夫变换使用了参数空间的概念，平常我们用(x, y)来表示图像空间中的点，而在霍夫变换中，我们用(θ, ρ)来表示参数空间中的点，因此参数空间中的每个点(θ, ρ)都对应图像空间中的一条线段，而图像空间中的每个点(x, y)都对应参数空间中的一条曲线(正余弦波)

当图像空间中有两个点时，它们在参数空间中对应的曲线会相交于一个点(θ, ρ)，这个点就代表了图像空间中通过这两个点的线段的参数，因此我们可以通过统计参数空间中每个点(θ, ρ)的投票数，来找到图像空间中出现频率最高的线段，而那个线段就是图像中最可能存在的线段

写程序时通常以1度为步长在[0, 180)范围内枚举θ，计算对应的ρ

霍夫圆变换#

对于圆的参数化，使用圆心坐标和半径：

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

然后会发现圆方程在两个空间内是对应的：

(a - x)^2 + (b - y)^2 = r^2

调换一下位置即得到了参数空间内的形式(会发现r的大小是固定的，所以不用参与到参数空间内)，所以图像空间中的一个点在参数空间中对应一个圆，图像空间中的三个点在参数空间中就对应三个圆，这三个圆的交点就是图像空间中通过这三个点的圆的参数，因此我们可以通过统计参数空间中每个点(a, b)的投票数，来找到图像空间中出现频率最高的圆，而那个圆就是图像中最可能存在的圆

但如果 $r$ 未知，则需要在参数空间中增加一个维度来枚举 $r$ ，这样就会增加计算复杂度，所以通常会使用霍夫梯度法