[工科复变函数] 泰勒级数 - Alkaid114

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[工科复变函数] 泰勒级数

2025-09-27

复变函数

/

数学

这篇的常见级数主要在洛朗级数中使用，复变的考试不会再考泰勒级数了

泰勒级数#

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n

系数 $a_n$ 定义（证明题可能会考）

a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}

$z_0$ 为展开中心， $C$ 为包含 $z_0$ 的闭合曲线

常用的泰勒级数#

\begin{aligned} \frac{1}{1+z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^n \quad |z| < 1 \\ \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \quad |z| < 1 \end{aligned}

自然对数#

\ln(1+z) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{z^n}{n} \quad |z| < 1

自然指数函数#

e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \quad |z| < \infty

正弦函数#

\sin z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad |z| < \infty

余弦函数#

\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} \quad |z| < \infty

正弦、余弦和自然指数函数的收敛域非常棒，展开洛朗级数的时候直接无脑展开

[工科复变函数] 泰勒级数

https://alkaid114.github.io/posts/complex_func/taylor_series/

作者

Alkaid114

发布于

2025-09-27

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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