[工科复变函数] 拉普拉斯变换 - Alkaid114

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[工科复变函数] 拉普拉斯变换

2025-11-11

复变函数

/

数学

拉普拉斯变换的定义#

\mathscr{L}[f(t)] = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt

其中 $s$ 为复变量 $s=\beta + i\omega$ ， $t \geq 0$

拉普拉斯逆变换#

用留数求

只适用于 $F(s)$ 只有有限个孤立奇点的情况，且当 $s \to \infty$ 时， $F(s) \to 0$ ，不过题里既然让求了，那也没什么好说的，肯定满足条件

f(t) = \mathscr{L}^{-1}[F(s)] = \sum_{k=1}^{n} \text{Res} \left( F(s) e^{st}, s_k \right)

常见拉普拉斯变换对#

$f(t)$	$F(s)$	条件
1	$\frac{1}{s}$	$\mathbf{Re}(s) > 0$
$\delta(t)$	1	无
$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$\mathbf{Re}(s) > 0$
$t^n$	$\frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}}$	$\mathbf{Re}(s) > 0$
$e^{kt}$	$\frac{1}{s - k}$	$\mathbf{Re}(s) > k$
$\sin{(k t)}$	$\frac{k}{s^2 + k^2}$	$\mathbf{Re}(s) > 0$
$\cos{(k t)}$	$\frac{s}{s^2 + k^2}$	$\mathbf{Re}(s) > 0$

微积分跳过不讲但现在还考的伽玛函数#

\Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} dt

有以下性质

\Gamma(n+1) = n \Gamma(n) \quad (n > 0) \\[1.5em] \Gamma(1) = 1 \\[1.5em] \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \\[1.5em] \Gamma(n+1) = n! \quad (n \in \mathbb{N})

拉普拉斯变换存在定理#

$f(t)$ 的增长速度不超过某个指数函数

|f(t)| \leq M e^{c_0 t} \quad (t \geq 0)， M, c_0 > 0

$c_0$ 称为 $f(t)$ 的增长指数

条件还是很宽松的

拉普拉斯变换的性质#

以下均设 $\mathscr{L}[f(t)] = F(s)$

线性性质#

不多说了

微分性质#

\boxed{ \mathscr{L}[f^{(n)}(t)] = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0) }\\[1.5em] \boxed{ F^{(n)}(s) = \mathscr{L} \left[ (-t)^n f(t) \right] }

这个性质在求解微分方程时会大量用到

积分性质#

\boxed{ \mathscr{L} \left[ \int_{0}^{t} f(\tau) d\tau \right] = \frac{F(s)}{s} }

更一般的式子

\mathscr{L} \left[ \int_{0}^{t} dt \int_{0}^{t} dt \cdots \int_{0}^{t} f(t) dt \right ] = \frac{F(s)}{s^n} \qquad (n \text{重积分})

像函数的积分性质

\boxed{ \mathscr{L} \left[ \frac{f(t)}{t} \right] = \int_s^{\infty} F(u) du }

也有更一般的形式

\mathscr{L} \left[ \frac{f(t)}{t^n} \right] = \int_s^{\infty} ds \int_{s}^{\infty} ds \cdots \int_{s}^{\infty} F(s) ds, \quad (n \text{重积分})

位移性质#

\boxed{ \mathscr{L}[e^{a t} f(t)] = F(s - a) \qquad (\mathbf{Re}(s-a) > c_0) }

$c_0$ 为 $f(t)$ 的增长指数

延迟性质#

\boxed{ \begin{aligned} &\mathscr{L} \left[ f(t - a) u(t - a) \right] = e^{-a s} F(s) \qquad \\[1.5em] &\mathscr{L}^{-1} \left[ e^{-s a} F(s) \right] = f(t - a) u(t - a) \end{aligned} }

缩放性质#

\boxed{ \mathscr{L}[f(a t)] = \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) } \qquad (a > 0)

拉普拉斯的性质(2)#

初值定理#

$\lim\limits_{t \to 0^+} sF(s)$ 存在，则有

f(0^+) = \lim\limits_{s \to \infty} sF(s)

终值定理#

$\lim\limits_{t \to \infty} f(t)$ 存在，且 $F(s)$ 的极点均位于 $s$ 平面的左半平面，则有

f(\infty) = \lim\limits_{s \to 0} sF(s)

卷积定理#

设 $\mathscr{L}[f(t)] = F(s)$ ， $\mathscr{L}[g(t)] = G(s)$ ，则有

拉普拉斯变换的卷积定义#

f(t) * g(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau) d\tau

拉普拉斯变换的卷积定理#

\mathscr{L}[f * g] = F(s) G(s) \\[1.5em] \mathscr{L}[f \cdot g] = F(s) * G(s)

[工科复变函数] 拉普拉斯变换

https://alkaid114.github.io/posts/complex_func/laplace_transform/

作者

Alkaid114

发布于

2025-11-11

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯逆变换

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拉普拉斯变换的性质

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