[工科复变函数] 积分

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[工科复变函数] 积分

2025-09-26

复变函数

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数学

WARNING
本文以及本博客的数学内容主要作为个人笔记，其中包含大量的个人理解，存在不严谨甚至错误的内容，请谨慎阅读

复变函数积分的本质#

本质其实是第二型曲线积分

计算方法#

参数方程法#

将曲线 $C$ 表示为参数方程 $x=x(t),y=y(t),t \in [a,b]$ ，即 $z=z(t)=x(t)+iy(t)$

所以

\begin{aligned} \int _C f(z)dz &= \int _C f(z(t))dz(t) \\ &= \int _a^b f[z(t)]z^{\prime}(t)dt \end{aligned}

代入计算即可

柯西积分定理（柯西-古萨基本定理）#

若 $f(z)$ 在简单光滑闭曲线 $C$ 及其内部单连通区域 $D$ 内解析，则

\oint _C f(z)dz=0

（格林公式）

定理 3.2.2#

单连通区域上的解析函数的积分与路径无关

复合闭路定理#

若 $f(z)$ 在多连通区域 $D$ 内解析， $D$ 由 $n+1$ 条闭曲线构成， $C_1,C_2,\cdots,C_n$ 为 $C_0$ 内的 $n$ 条互不相交的简单光滑闭曲线，且均取正向，则

C = C_0 + C_1^{-} + C_2^{-} + \cdots + C_n^{-}

但我个人更喜欢将闭曲线的积分看作围起来的面积，于是我会这么写

C = C_0 - C_1 - C_2 - \cdots - C_n

$C$ 是要求的不含奇点的闭曲线

又因为 $\oint_C f(z)dz=0$ ，所以

\oint _{C_0} f(z)dz = \sum_{k=1}^{n} \oint _{C_k} f(z)dz

利用复合闭路定理计算含有奇点的积分#

计算 $\oint_C \frac{dz}{z^2-z}$ ， $C$ 是包含单位圆盘的简单闭曲线

被积函数 $f(z)=\frac{1}{z^2-z}=\frac{1}{z(z-1)}$ 有 $z_1=0,z_2=1$ 两个奇点，此外处处解析

在 $C$ 内作正向闭曲线 $C_1$ 和 $C_2$ ，分别围住奇点 $z_1,z_2$ ，由复合闭路定理得

\begin{aligned} \oint _C \frac{dz}{z^2-z} &= \oint _{C_1} \frac{dz}{z^2-z} + \oint _{C_2} \frac{dz}{z^2-z} \\ &\text{目前只要明白这行即可，后续步骤需要用到柯西积分公式}\\ &= \oint_{C_1} \frac{dz}{z-1} - \oint_{C_1} \frac{dz}{z} + \oint_{C_2} \frac{dz}{z} - \oint_{C_2} \frac{dz}{z-1} \\ &= 0 -2\pi i + 2\pi i - 0 \\ &= 0 \end{aligned}

这里的 $C$ 放在上面的复合闭路定理里其实是 $C_0$

柯西积分公式#

函数 $f(z)$ 在闭路 $C$ 及其内部 $D$ 内解析， $z_0$ 为 $D$ 内任意一点，则

f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint _C \frac{f(z)}{z-z_0} dz

TIP
柯西积分公式多用于求奇点处的积分值，如例题利用复合闭路定理计算含有奇点的积分

CAUTION
注意分母自带负号，不要搞错 $z_0$ 的正负

高阶导数柯西积分公式#

f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint _C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz

TIP
利用这个公式可以直接计算高阶导数

还可以得到一个结论

\int _C \frac{1}{(z-z_0)^n}dz=\begin{cases} 2\pi i,&n=1 \\ 0,&n \ne 1 \text{的整数} \end{cases}

由柯西积分公式得出的重要推论#

平均值公式#

解析函数 $f(z)$ 在圆心的值等于该圆周上函数值的平均值

$z_0$ 为圆心， $R$ 为半径

$z=z_0+Re^{i\theta}, dz=Rie^{i\theta}d\theta$

f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int _0^{2\pi} f(z_0 + Re^{i\theta}) d\theta

柯西不等式#

$M$ 为 $|f(z)|$ 在闭圆 $|z-z_0|=R$ 上的最大值

|f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!M}{R^n}

代数学基本定理#

任何一个复系数多项式

f(z) = a_0 z^n + a_{1} z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n \quad (a_0 \ne 0, n \ge 1)

$f(z)=0$ 必有根

莫雷拉定理#

若 $f(z)$ 是区域 $D$ 内的连续函数，且对于 $D$ 内任意一条简单光滑闭曲线 $C$ ，都有

\oint _C f(z) dz = 0

则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析

TIP
其实就是柯西-古萨基本定理的逆命题

泊松公式#

任何一个在圆内调和且在闭圆盘上的调和函数，其在园内的值可由圆周上的值的积分表示

u(z_0) = u(r,\theta) = \frac{1}{2\pi} \int _0^{2\pi} \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr\cos(\theta - \varphi) + r^2} u(Re^{i\theta}) d\theta

当 $z = z_0$ 即 $r=0$ 时，退化为平均值公式

[工科复变函数] 积分

https://alkaid114.github.io/posts/complex_func/int/

作者

Alkaid114

发布于

2025-09-26

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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